考研高数答案2024

2021年考研高数试题及详细解析

1. 选择题

1. 设函数f(x) = x^3 3x b，则当b=3时，函数f(x)的有且仅有一个零点。则b的取值范围是：（ ）

A. （∞， 3）

B. （∞， 0）

C. （3， ∞）

D. （0， ∞）

解析：当b=3时，函数f(x)变为f(x) = x^3 3x 3。易发现，f(x)在x=1处取得局部极小值f(1) = 13 3 = 1，并且f(0) = 3，f(2) = 5。因此，在x=1的左侧和右侧，f(x)均取正值和负值。综上，当b=3时，函数f(x)的有且仅有一个零点，答案为A。

2. 函数f(x) = x^3 ax 1，若f(x)在点x=1处取得极小值1，则a=（ ）

A. 2

B. 2

C. 1

D. 1

解析：由题意可得f(1) = 1 a 1 = 1，即a = 3。因此，答案为D。

3. 若函数f(x)在[0,1]内连续，且f(0) = f(1) = 0，则必存在一点x∈(0,1)，使得f(x^2) f(1x^2) = 0，其中^2表示平方。则下列结论中，正确的是：（ ）

A. 对于任意函数f(x)，结论成立

B. 只对满足f(x) = f(1x)的奇函数f(x)成立

C. 只对满足f(x) = f(1x)的偶函数f(x)成立

D. 只对满足f(x) = f(1x)的函数f(x)成立

解析：由条件可得，必定存在一点c∈(0,1)使得f(c) = 0。因此，若设x = \sqrt{c}，则有1x^2 = 1c。又因为f(x^2) f(1x^2) = f(c) f(1c) = 0，即可得结论。因此，答案为D。

2. 填空题

1. 若f(x) = 2x 1，则f(ax b) = _____。

解析：f(ax b) = 2(ax b) 1 = 2ax 2b 1

2. 若x^2 y^2 = R^2，则x y的最大值是_____。

解析：根据柯西不等式，有(x^2 y^2)(1 1) \geqslant (x y)^2，即2R^2 \geqslant (x y)^2，因此，x y的最大值是\sqrt{2}R。

3. 若f(x) = 2x^4 4x^3 3，则f(\frac{1}{2}) = _____。

解析：f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^4 4(\frac{1}{2})^3 3 = \frac{1}{8} \frac{1}{2} 3 = \frac{15}{8}。

3. 解答题

1. 若A，B，C都是n阶实对称矩阵，且有AB = BA，BC = CB。证明存在一个n阶实对称矩阵D，使得AD = DA，CD = DC，并且有DAB = CB。

解析：由于A和B是实对称矩阵，因此他们可以分别对角化，即有A = Q_1\Sigma_1Q_1^T，B = Q_2\Sigma_2Q_2^T，其中Q_1和Q_2均为正交矩阵，\Sigma_1和\Sigma_2均为对角矩阵。因为AB=BA，所以有Q_1\Sigma_1Q_1^TQ_2\Sigma_2Q_2^T = Q_2\Sigma_2Q_2^TQ_1\Sigma_1Q_1^T，即Q_1\Sigma_1Q_1^TX = XQ_2\Sigma_2Q_2^T，其中X = Q_2^TQ_1

令D = Q_1\Sigma_1Q_1^TX，则有AD = Q_1\Sigma_1Q_1^TXQ_2\Sigma_2Q_2^T = Q_1\Sigma_1XQ_2\Sigma_2Q_2^T = Q_1X\Sigma_2Q_2^TQ_2\Sigma_2Q_2^T = DA

又因为BC=CB，所以存在一个矩阵Y，使得B = YCY^T。因此，有DAB = Q_1\Sigma_1Q_1^TQ_2\Sigma_2Q_2^TYCY^T = Q_1\Sigma_1XCY^T = Q_1\widetilde{X}CY^T，其中\widetilde{X} = XQ_2\Sigma_2。因为\widetilde{X}是一个对称矩阵，所以有\widetilde{X} = Q\Sigma Q^T，其中Q是一个正交矩阵，\Sigma是一个实对角矩阵。因此，有DAB = Q_1Q\Sigma CY^T = Q_1QCY^T\Sigma = CB，也就是说，存在一个矩阵D，使得AD = DA，CD = DC，并且有DAB = CB。证毕。

2. 求函数f(x) = \cos x在区间[0,\pi]上的最小正周期和最小正周期函数。

解析：f(x T) = \cos (x T) = \cos x\cos T \sin x\sin T = \cos x，因此，f(x)的最小正周期是2\pi。最小正周期函数是\cos(x2k\pi)，其中k为整数。